Должен ли мужчина старше призывного возраста и не состоящий на воинском учете обращаться в военкомат при прописке в квартиру родителей?

Здравствуйте! Нет не обязан, при регистрации по месту жительства обращение военкомат не нужно, тем более возврат призыв у него уже истек и он не подлежит призыву в соответствии с нормами действующего законодательства Российской Федерации

Здравствуйте. Для регистрации по месту жительства на территории РФ, гражданину РФ не требуется предоставлять военный билет

Здравствуйте.

Поскольку Ваш сын постоянно проживает за границей, то воинскому учету он не подлежит, согласно п.15 Постановления Правительства РФ от 27.11.2006 N 719
"Об утверждении Положения о воинском учете":

15. Не подлежат воинскому учету в военных комиссариатах, органах местного самоуправления и организациях граждане:

а) освобожденные от исполнения воинской обязанности в соответствии с Федеральным законом "О воинской обязанности и военной службе";

б) проходящие военную службу;

в) отбывающие наказание в виде лишения свободы; 
г) женского пола, не имеющие военно-учетной специальности;

д) постоянно проживающие за пределами Российской Федерации;

е) имеющие воинские звания офицеров и пребывающие в запасе Службы внешней разведки Российской Федерации и Федеральной службы безопасности Российской Федерации.

Соответственно, обращаться в военкомат нет необходимости, тем более, при оформлении регистрации в жилом помещении документы о воинской обязанности не представляются.

В соответствии с п.п.48,49 Приказа МВД России от 31.12.2017 N 984
"Об утверждении Административного регламента Министерства внутренних дел Российской Федерации по предоставлению государственной услуги по регистрационному учету граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации" для регистрации по месту жительства представляется заявление о регистрации по месту жительства по установленной форме (бланк заявления о регистрации по месту жительства можно получить в органе регистрационного учета или заполнить и распечатать на сайте МВД России), паспорт, документы о  собственности и при необходимости согласие остальных участников долевой собственности.