О продаже наследуемой доли

Здравствуйте! Нет не сможет, так как доверенность дающая право распоряжения недвижимым имуществом должна быть нотариально удостоверена в соответствии с нормами действующего законодательства 

Доброго дня Юля, в этой ситуации я бы рекомендовал другой путь. Поскольку сейчас уже не требуется нотариальное заверение согласия всех сособственников на продажу всех долей, Вы можете направить бабушке на подпись договор купли-продажи квартиры (в необходимом количестве). Уже получив подписанные экземпляры решать вопрос дальше по регистрации сделки.