Имеет ли право мать проживать в квартире у прописанного в нем ребёнка, после развода?

Смотря с кем заключен договор социального найма. Если с бывшем мужем, то формально он имеет право обратиться с иском! В таком случае в суде будут прислушиваться к мнению собственника. И в этом случае "муниципалам" можно сказать: "В таком случае, выдавайте мне тоже квартиру!" Им проще возражать против удовлетворения его исковых требований, чем искать Вам квартиру! А если в договоре указаны и муж, и жена, то тогда имеет полное право проживать.

В таком случае, формально он может предъявить иск. Но, в таком случае он должен будет предъявить иск сначала об определении места жительства ребенка с ним, а уж, затем, в случае удовлетворения такого иска, уже к бывшей жене о ее выселении! Проще говоря, он должен будет выселить в таком случае только бывшую жену, а ребенка оставить! А вот теперь давайте подсчитаем его шансы на удовлетворение таких исков! Оставит ли суд ребенка с ним? Нет, конечно! Выселит ли суд мать из квартиры, где проживает ребенок? Нет, конечно! Плюс к тому, что он даже собственником не является! Шансов -  ноль! Так что можете спокойно вздохнуть.

Советую Вам обратиться в суд с иском об определении места жительства ребенка с Вами в соответствии с нормами действующего Семейного Кодекса Российской Федерации это ещё более укрепит Ваши позиции, если будет подан иск о выселении 

Да, чтобы вас выселить, ему придется обращаться в суд.

Я прочитал комментарии к ответам коллег, теперь понял ситуацию. Все не так просто, действительно, сначала необходимо определить местожительства ребенка с отцом, чтобы вас можно было спокойно выселить. Но раз отец ребенка не является нанимателем, то у него не много шансов, чтобы суд определил место жительства ребенка с ним. Скорее суд будет на вашей стороне. Ребенка выселить не смогу, следовательно, вас также не тронут.