Как получить документ о разводе через суд, оформленный в России, гражданину Казахстана?

Да, так как имеется несовершеннолетний ребенок, поэтому согласно норм действующего Гражданского процессуального кодекса РФ она могла обратиться с иском по месту ее жительства 

Можете отправить просто заявление в свободной форме, но, естественно, нужно указать данный Истца и адрес, данные Ответчика и его адрес, просьбу выдать заверенную копию судебного решения 

На изготовление копии судебного акта у суда 5 дней рабочих, что касается, как развели без лис личного участия, то это не запрещено нормами действующего законодательства, не он же подал иск, а его бывшая супруга, поэтому, если он не являлся в суд по повесткам, то суд просто выносит решение без его участия  

Вообще то это общепринятая практика, но, если заявлялись требования не только о расторжении брака, а, например, о о разделе совместно нажитого имущества или по детям, то стоит ознакомиться с материалами дела и посмотреть, как и куда направлялись повестки, если адрес был не правильный, то тогда стоит обжаловать решение суда в апелляционном порядке подав апелляционную жалобу вместе с ходатайством о восстановлении пропущенного срока на подачу апелляционной жалобы

Присутствие стороны не обязательно. Суд обязан известить по адресу регистрации, но не более. Может рассматривать и в отсутствие стороны.

Берите решение суда, и идите к юристу на анализ этого решения. Если будут усматриваться основания для обжалования, он вам должен сказать об этом.

С уважением.