Положены ли 10000 тысяч за рождение первенца?

А почему сомнения? Рождение первого ребенка, малообеспеченная (даже хуже) семья (хоть и неполная) Рекомендую встать на учёт в центр занятости.

Если в промежутке между уходом с одной работы и устройством на другую вы не встали на учет в центре занятости, это не будет нарушением.  Пребывание в статусе безработного дает вам право получать пособие и получить ряд других социальных льгот: бесплатное обучение новой профессии, деньги на старт своего дела, справку о доходе для начисления субсидии на услуги ЖКХ и др.